exemple démonstration par récurrence


Une introduction aux équations de différence linéaire. Rappelez-vous, la relation de récurrence vous indique comment obtenir des termes antérieurs à des termes futurs. Notez que ceux-ci sont en croissance par un facteur de 3. Beukers, F. L`Encyclopédie des séquences entières. Donc, nous nous soucions vraiment de l`autre partie. Heureusement, il se trouve être une méthode pour résoudre les relations de récurrence qui fonctionne très bien sur les relations comme celle-ci. En fait, cela donne le troisième nombre irrationnel le plus célèbre, (varphitext{,} ) le ratio d`or. Par exemple, (a_n = 2a_ {n-1} + a_ {n-2}-3a_ {n-3} ) a un polynôme caractéristique (x ^ 3-2 x ^ 2-x + 3 texte {. En effet, (2 ^ 1 + 1 = 3 texte {,} ) qui est ce que nous voulons. La séquence générée par une relation de récurrence est appelée séquence de récurrence.

Nous prétendons (a_n = 4 ^ n ) fonctionne. Pour trouver cette solution, le polynôme caractéristique, (x ^ 2-x-2 Text {,} ) pour obtenir les racines caractéristiques (x = 2 ) et (x =-1 texte {. Hélas, nous n`avons que la séquence. Pour lequel (x ) y a-t-il des termes initiaux qui font (a_9 = xtext {? Si une séquence de récurrence disparaît infiniment souvent, elle disparaît sur une progression arithmétique avec une différence commune 1 qui ne dépend que des racines. New York: Cambridge University Press, 1997. En supposant que vous voyez comment factoriser un tel degré 3 (ou plus) polynôme vous pouvez facilement trouver les racines caractéristiques et en tant que telle résoudre la relation de récurrence (la solution ressemblerait à (a_n = ar_1 ^ n + br_2 ^ n + CR_3 ^ n ) s`il y avait 3 racines distinctes). Il est toujours le cas que (r ^ n ) serait une solution à la relation de récurrence, mais nous ne serons pas en mesure de trouver des solutions pour toutes les conditions initiales en utilisant le formulaire général (a_n = ar_1 ^ n + br_2 ^ ntext {,} ) puisque nous ne pouvons pas distinguer (R_1 ^ n ) et (r_2 Proc. Nous avons vu comment simplifier (2 + 2 cdot 3 + 2 cdot 3 ^ 2 + cdots + 2 cdot 3 ^ {n-1} text{. Forrester, P. Levy, H. récurrences et fonctions génératrices» et «autres méthodes d`analyse des mains. Trouvez les deux termes suivants dans ((a_n) _ {nge 0} ) commençant (3, 5, 11, 21, 43, 85 ldots.

Mettre tout cela ensemble, nous avons (-a_0 + a_n = frac{n (n + 1)} {2} ) ou (a_n = frac{n (n + 1)} {2} + a_0text {. La chose clé ici est que la différence entre les termes est (ntext {. L`exemple ci-dessus montre un moyen de résoudre les relations de récurrence de la forme (a_n = a_ {n-1} + f (n) ) où (sum_{k = 1} ^ n f (k) ) a une formule fermée connue. Ou (a_n = 7 (-2) ^ n + 4 cdot 3 ^ ntext {. La bonne chose est, nous savons comment vérifier si une formule est en fait une solution à une relation de récurrence: Branchez-le. La deuxième fois, 4 Skittles, la troisième fois 16 Skittles, la quatrième fois 64 Skittles, etc. Greene, D. Cependant, le télescoping ne nous aidera pas avec une récursivité telle que (a_n = 3a_ {n-1} + 2 ) puisque le côté gauche ne sera pas télescope. Supposons que nous voulons résoudre une relation de récurrence exprimée comme une combinaison des deux termes précédents, tels que (a_n = a_ {n-1} + 6a_{n-2} text{.